Kategori: formelfredag

Hvordan ble det plutselig søndag så fort?!? Det betyr jo at det er på høy tid med ukens formel igjen, og denne uken er det en klassiker, som jeg tror man egentlig er borti på ungdomsskolen (?) - nemlig arealet av overflaten til en kule:

En kule kan være stor eller liten eller kanskje midt i mellom... Størrelsen bestemmes av radiusen til kulen, som kalles for r. Radiusen er avstanden fra midten til kula ut til overflaten, eller "kanten" slik du ser her:

Det eneste som betyr noe for hvor stort dette arealet blir er altså radiusen til kulen, og arealet regnes ut med formelen over. A er arealet, og \(4\pi\) er jo bare et tall (ca 12.57), og \(r^2 \) betyr at r skal ganges med seg selv 🙂 Hvis r = 10 cm blir \(A = 4\pi\cdot 10^2 = 12.56\cdot 100 = 1256  cm^2\), eller hvis r = 20 cm blir \(A = 4\pi\cdot 20^2 = 12.56\cdot 400 =5024 cm^2\). Så når r blir dobbelt så stor, blir arealet så mye som fire ganger så stort...

Dette er faktisk ganske viktig! Hvis du for eksempel har et stearinlys på bordet, så kan man ta hånden inntil og kjenne at det er mye varmere når man holder hånden nærme (d'oh). Men grunnen til at dette skjer, er fordi all varmen (energien) blir fordelt fra flammen utover i alle retninger på et kuleskall (kuleskall er det samme som overflaten/arealet til en kule). Hvis du holder hånden 1 cm unna flammen kan det være ganske vondt. All denne varmen treffer fingeren! Hvis du nå fingeren dobbelt så langt unna, så spres varmen ut på et større kuleskall, så det er mindre av varmen som treffer fingeren din.

Så hvis du går unna nå blir arealet større, så varme eller stråling blir "tynnet ut".

Og grunnen til at jeg er litt ekstra opptatt av denne formelen er fordi det er liksom en av de mest grunnleggende tingene i strålevern; avstand fra det som sender ut stråling (enten det er snakk om varme eller gamma-stråling). Avstand, som kanskje ikke virker som om den kan ha så mye å si, kan faktisk bety mye mer enn det virker som - nettopp på grunn av \(r^2 \), som jo betyr at r skal ganges med seg selv, og når et tall ganges med seg selv så blir det jo veldig fort ganske stort ♥

Heeei ♥ Jeg tror faktisk ikke kommer på noen ting som passer bedre enn en ny runde Ukens Formel! (Blant annet fordi at hvis jeg ikke skriver om ukens formel nå før vi går over i mandag, så har jeg feilet på å ha en formel i uken allerede på første forsøk, og det er så innmari kjedelig... :P).

Denne uken fortsetter jeg med noe som er viktig for oss som jobber med radioaktive ting, nemlig halveringstidsformelen. Eller, egentlig er det formelen for eksponensielt henfall, og gjelder for alle ting som minker eksponensielt:

Det denne formelen sier er at hvis du starter med å ha et visst antall av et eller annet, som vi kaller for N₀, og halveringstiden til dette et eller annet er t_{1/2 ,} så kan vi regne ut hvor mye som er igjen etter at det har gått så og så lang tid t. Vi kaller det N₀, siden N er en bokstav ofte brukes som antall av noe, og dette er så mye vi har når det har gått 0 tid (helt i starten).

Etter én halveringstid så er halvparten borte, etter to halveringstider har vi mistet halvparten av det igjen - dvs 3/4 borte, osv. Etter 7 halveringstider er det bare 1/128 igjen, eller, altså mindre enn 1%. En tommelfingerregel er at man sier at da er "alt" borte  - noe som egentlig betyr at det er så lite igjen av det man opprinnelig hadde at man kan regne med at resten ikke har noe å si (det er selvsagt ikke sant hvis man har noe som er veldig radioaktivt, eller man har veldig store mengder av det opprinnelig; 1% av noe som er veldig mye kan jo fremdeles være ganske masse).

I litt mer detalj:

Man starter altså med N₀ atomer - f. eks. 1000 (dette er et latterlig lavt tall, men det er enkelt og fint og greit og pent å forholde seg til, syns jeg :)). Halveringstiden til dette atomet er for eksempel 2 sekunder - t_1/2  er dermed 2. Hvis man lurer på hvor mange atomer det er igjen etter det har gått tid, for eksempel 8 sekunder, så kan man putte inn i formelen. Vi finner først hvor mange halveringstider det har gått

\(\frac{t}{t_{1/2}} = \frac{8}{2} = 4\)

og setter det inn i formelen

\(N = N_0\cdot\Big(\frac{1}{2}\Big)^4 = 1000\cdot 0.5\cdot 0.5\cdot 0.5\cdot 0.5 \\ \qquad\qquad = 1000\cdot 0.0625 = 62.5\)

 

Så hvis halveringstiden er 2 sekunder, og vi venter 8 sekunder har vi bare litt over 50 atomer igjen av de 1000 vi startet med!

Hvis man lurer på hvor mange atomer vi har igjen etter 3.3 sekunder (da har det jo ikke gått et heltall antall halveringstider), så kan vi dytte formelen inn i Google omtrent som dette: http://lmgtfy.com/?q=1000*0.5%5E(3.3+%2F+2). Da ser vi at det er igjen omtrent 300 atomer.

Hvis vi ikke vet hva halveringstiden er, men noen har tegnet grafen for oss (enten fra eksperiment eller kanskje du har fått i oppgave å finne halveringstiden ved å se på grafen), så kan vi bare se på den øverste rosa streken (den er der y-aksen viser 0.5) og sjekke hvilken tid på x-aksen det svarer til. I denne grafen her ser vi at det er litt under 2, kanskje 1.8?

---

Formelen er som sagt ikke bare for å regne ut hvor mange atomer man har igjen etter en viss tid, men ser lik ut for alle ting som halveres på et eller annet vis. Feks er det gjerne halveringstykkelse når man ser på hvor tykk vegg av bly man trenger for å beskytte mot gamma-stråling, eller det er snakk om halveringstid av medisiner i kroppen (da er det nøyaktig det samme som formelen over), og sikkert mange andre ting som jeg ikke kommer på i farten 🙂

Hvis ikke alt var 100% superklart i denne teksten er det bare å spørre i kommentarfeltet, så skal jeg prøve å forklare så godt jeg kan ♥