Ukens Formel: Eksponensiell vekst

Hei fredag, og hei igjen fredagsspalten (som har hatt veeeldig lang ferie nå 😉 ), nemlig Ukens Formel ♥ Sist gang jeg presenterte ukens formel handlet det om halveringstid som forklarer hvordan man finner ut hvor mye Uran (eller andre radioaktive stoffer) man sitter igjen med hvis man starter med for eksempel 1 tonn og venter 4.5 milliarder år (dette er jo nesten jordens alder).

Denne gangen skal vi snakke om søsteren til halveringstidsformelen, nemlig formelen for eksponensiell vekst. At noe vokser eksponensielt betyr at hvor mye det vokser med er en prosentandel av hvor mye du har. Dette kjenner vi godt igjen fra når man bruker kredittkort og ikke betaler. Et typisk kredittkort har rente på omtrent 20% i året. Dette betyr at hvis du låner 10000 kroner og ikke betaler tilbake, skylder du 2000 kroner ekstra det neste året (veksten er 2000 kroner), og låner du 100000 kroner vokser gjelden med 20000 kroner. Veksten er altså avhengig av hvor mye du har (det er det som menes med at den vokser proporsjonalt 🙂 )!

Halveringstidsformelen er egentlig bare en spesialversjon av den mer generelle formelen for eksponensiell utvikling. Den ser slik ut:

På samme måte som i formelen for halveringstid er

  • N0 hvor mye du starter med (for eksempel 10000 kroner)
  • r er vekstraten (renten)
  • t er hvor lang tid det går (ofte antall år)
  • N er hvor mye du har til slutt

Siden renten fra kredittkortselskapet ofte er i prosent må vi dele det tallet på 100 for å sette inn i formelen (20% er 0.20), og altså få vekstraten. Så for å ta eksempelet over med 100000 kroner:

\(N = 100000\cdot(1+0.20)^1 = 100000\cdot 1.20^1 = 120000\), altså 20000 kroner mer enn vi startet med. Vi kan nå finne ut hvor mye vi skylder etter 10 år ved å sette inn 10 i stedet for 1, og da betyr det at man må ta det tallet som vi får inni parentesen (i dette tilfellet så er det 1.20) og gange med seg selv 10 ganger:

\(N = 100000\cdot(1+0.20)^{10} = 100000\cdot 1.20^{10} = 100000\cdot 6.19 = 619173\), over en halv million mer enn det vi lånte. Så med eksponensiell vekst så går det liksom fortere og fortere, og det er litt kjedelig med renter når du skylder mye penger - i alle fall hvis renten er høy, sånn som med kredittkort 😉

Etter 4 år så har gjelden altså doblet seg - fra 10 000 til 20 000. Så, etter (ca) 4 år til har den doblet seg én gang til - da fra 20 000 til 40 000, og hvert 4. år (ca) blir gjelden dobbelt så høy som det den var... :/

Denne formelen blir brukt overalt hvor vekstraten er proposjonal med hvor mye du begynner med. I biologi (og medisin så klart) ser man ofte på bakterievekst eller andre mikroorganismer der vi ser eksponensiell vekst. I USA ser det ut til at befolkningen over de siste 100 årene er godt beskrevet av eksponensiell vekst med 1.5% vekstrate.


PS: noen reagerer kanskje på at formelen er i den flotte(?) fonten "comic sans"... Vel, denne fonten er faktisk ganske mye brukt blant fysikere rundt omkring i verden, blant annet av fantastiske Fabiola da hun annonserte at de hadde funnet Higgs på CERN. Hvis fonten er bra nok for Fabiola, er det bra nok for meg ♥

 

2 kommentarer om “Ukens Formel: Eksponensiell vekst

  1. Anders Schau Knatten

    Fun fact: Da Alan Turing fant opp LaTeX på CERN i 1991, ville han først ha Comic Sans som standardfont, ikke Computer Modern Roman. Dette ble først endret i forbindelse med EU-standardiseringen samme år.

    Svar

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert. Obligatoriske felt er merket med *