Formelfredag: kunstig tyngdekraft

Ukens formel er egentlig ikke en ny formel, men endelig kan vi sette sammen ting fra tidligere innlegg, og løse praktiske problemer 🙂 Praktiske problemer av den typen du får når du skal være veldig lenge på et romskip, altså i vektløs tilstand. Med andre ord; ikke ting som er problemer for de fleste av oss...;)

I dette innlegget står det om Newtons andre lov, som kort fortalt sier at \(F = m\cdot a\), og i innlegget fra forrige ukes formel står det om sentripetalakselerasjon - altså den akselerasjonen man har når man kjører rundt og rundt i en sirkel: \(a = \frac{v^2}{r}\).

Sentripetalakselerasjon er nettopp det som gjør at vannet presses ut av klærne under sentrifugeringen i en vaskemaskinen. Trommelen snurrer rundt og de våte klærne går i sirkelbane inni maskinen. Det er små hull som gjør at vannet får lov til å renne ut mens klærne forblir på innsiden. Vått tøy minus vann er lik mindre vått tøy 🙂

I innlegget om Newtons andre lov skrev jeg om tyngdekraft. Hvis vi setter sammen idéen om sentrifugen med det vi vet om tyngdekraften på jorden har vi alt vi trenger for å finne ut hva slags romskip vi må ha for å lage "kunstig tyngdekraft" for astronauter i vektløs tilstand enten i bane rundt jorden eller kanskje på vei til Mars. Løsningen er nemlig at romskipet må ha en snurrende del sånn som dette:

Romskipet kan være formet som mye rart, men det viktige å få med seg her er den store donut'en (den er jo en slags sirkel med radius r). Hvis romskipet er vektløst vil en person som står inni kjenne at han/hun blir dyttet utover når det snurrer (tenk på tekoppen-karusellen 😉 ).

Vi kan nå kombinere de to formlene til å finne sammenhengen mellom radius på romskipet og farten det må snurre med for at en person inni opplever å bli dyttet mot gulvet akkurat like hardt som jorden drar deg ned mot gulvet. Vi starter med selve formelen

- oppskrift -

 

 

- hvorfor det blir sånn/forklaring -

Forklaringen kommer her (du kan gjerne hoppe over, hvis du ikke vil vite hvordan det er sånn, og gå rett ned til hva det betyr):

Newtons annen lov sier altså at \(F=m\cdot a\), og her på jorden er a (det som kalles tyngdeakselerasjonen) 9.81\(\frac{m}{s^2}\), så derfor blir tyngdekraften \(F=m\cdot 9.81\). Når du kjører i en sirkel så er \(a=\frac{v^2}{r}\), og siden du har en akselerasjon (som ikke er null), så blir den kraften du blir presset utover med \(F=m\cdot\frac{v^2}{r}\) (her starter man også med Newtons annen, og setter man inn \(\frac{v^2}{r}\) der det står a 🙂 )

Da har vi to forskjellige likninger som forteller om kraft: 1) \(F=m\cdot 9.81\), og 2) \(F=m\cdot \frac{v^2}{r}\). Poenget er at når vi er i det snurrende romskipet så vil vi at den kraften vi blir presset utover med skal være lik den tyngdekraften vi kjenner her på jorden, og derfor sier vi at \(F=m\cdot 9.81\) på en måte er fasiten - det er det vi må få på vestre siden av likhetstegnet i likning 2). Dermed blir det seende sånn ut: \(m\cdot 9.81=m\cdot \frac{v^2}{r}\). m er den samme på begge sider av likhetstegnet, så den kan vi bare ta bort (og det er jo litt heldig, for ellers ville det vært sånn at alle astronauter måtte hatt akkurat samme masse for at dette skulle funke, men heldigvis så er denne kraften uavhengig av massen din, eller det vi ofte kaller for vekt, da 😉 ). Så da ser det slik ut: \(9.81=\frac{v^2}{r}\), og fra denne får vi likningen over ♥

 

- hva det betyr -

 

Et romskip som i bildet øverst har en eller annen radius, og da kan vi bruke formelen for å finne ut akkurat hvor fort det må snurre for å få lik tyngdekraft som på jorden!

v er hastighet ("fart"), r er radiusen i den sirkelen du beveger deg i (radiusen til romskipet), og 9.81 er 9.81\(\frac{m}{s^2}\), eller det som kalles tyngdeakselerasjon som er det som gjelder her på jorden (ja, vi har faktisk hele tiden en akselerasjon ned mot bakken). Som alltid så må man måle hastigheten i m/s, og radius (eller en hvilken som helst avstand) i meter - ellers blir det bare krøll 😉

- fremgangsmåte -

Hvis vi har et romskip som har radius 100 meter (det er jo et ganske stort romskip, men fint tall å regne med). Da kan vi bruke formelen med én gang for å finne farten:\(v = \sqrt{r\cdot 9.81} = \sqrt{100 \cdot 9.81} = \sqrt{981} = \sqrt{981} = 31 \frac{m}{s}.\)

Det er jo egentlig ganske fort (111 km/t), men så var det jo et ganske stort romskip også. Å ha et stort romskip er viktig fordi et menneske er omtrent 2 meter, og vi vil jo ikke at føttene og hodet skal ha veldig forskjellig akselerasjon, så vi vil at menneskehøyden er liten sammenliknet med radien på sirkelen. Det kan jo hende et romskip som har halvparten så stor radius er greit nok, og da vil vi få farten

\(v = \sqrt{r\cdot 9.81} = \sqrt{50 \cdot 9.81} = \sqrt{490.5} = \sqrt{490.5} = 22.15\frac{m}{s}\), en god del lavere fart, men mer enn halvparten! Denne farten ser vi at stemmer fra grafen under. Hver rosa prikk i grafen viser hva farten må være ved forskjellige radiuser.

 

Men hvor fort må den snurre da? Da tenker jeg på antall omdreininger (bedre kjent som RPM, revolutions per minute), slik vaskemaskiner og bilmotorer ofte oppgir. Hvis du står i romskipet vil du jo i løpet av en hel runde bevege deg akkurat like mye som omkretsen på sirkelen. Omkretsen har formelen \(O = 2\pi r\), så i det første eksempelet er omkretsen

\(O = 2\pi r = 2\pi 100 = 2\cdot 3.14\cdot 100 = 628 m\). Når vi har farten 31 meter per sekund vil det jo ta \(\frac{628}{31} = 20\) sekunder å bevege seg en hel runde. På et helt minutt får vi 3 runder, altså 3 omdreininger i minuttet. For det litt mindre romskipet blir omkretsen \(O = 2\pi r = 2\pi 50 = 2\cdot 3.14\cdot 50 = 314 m\). Antall sekunder per omdreining blir da \(\frac{314}{22.15} = 14.18\), så omdreininger i minuttet blir \(60/14.18 = 4.23\), mer enn for det store romskipet.

Sånn helt til slutt, fordi det er en fin avslutning på formelfredag, og uken sånn generelt: En vaskemaskin, hvor fort må den snurre for å få nøyaktig 9.81 \(\frac{m}{s^2}\) akselerasjon? Skriv svaret i kommentarfeltet her eller på Facebook, eller send meg en snap, eller hva som helst ♥